Bonjour j'ai un DM de math à faire pour lundi et j'ai du mal à comprendre mon exercice, si quelqu'un pouvais m'aider, merci. Une entreprise fabrique des jouets
Question
Bonjour j'ai un DM de math à faire pour lundi et j'ai du mal à comprendre mon exercice, si quelqu'un pouvais m'aider, merci.
Une entreprise fabrique des jouets qu'elle vend par lots.
Le coût de fabrication, en euros, d'un nombre x de lots, est donné, pour 0< ou égale x < ou égale 15 par :
C(x) = 4x(puissance 3) - 96x² + 576x + 100
On se ropose de déterminer le nombre de lots à fabriquer pour obtenir le coût minimal.
On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0;15] par :
F(x) = 4x(puissance 3) - 96x² + 576x +100
1) calculer f '(x), où f ' désigne la dérivée de la fonction f
2) Dresser le tableau de variation de la fonction f
3) Quels est le nombre de lots à fabriquer pour obtenir un coût minimal
4) Donner la valeur de ce coût minimal.
1 Réponse
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1. Réponse Aeneas
1) Soit x dans [0 ; 15].
f est dérivable sur [0 ; 15] et on a :
f'(x) = 12x² - 192x +576.
2) On factorise f'(x) par 12. Et on a f'(x) = 12(x²-16x+48)
On a Delta = 256 - 192 = 64
Les racines de f'(x) sont alors :
x = (16+8)/2 = 12
x = (16-8)/2 = 4
Donc f'(x) = 12(x-12)(x-4)
f'(x) est donc positive sur [0 ; 4] U [12 ; 15] et négative sur [4 ; 12].
f est donc croissante sur [0 ; 4] U [12 ; 15] et décroissante sur [4 ; 12].
3) On a min f(x) = min ( f(0) ; f(12) )
Or, f(0) = 100 et f(12) = 100
Le nombre de lots à fabriquer pour un cout minimal est donc de 12.
4) Et f(12) = 100 euros.
FIN