Bonjour, je ne comprend vraiment pas comment je pourrais résoudre cet exercice je dois le rendre dans une semaine es que quelqu'un pourrait m'aider. Merci d'ava

Réponse :

{U0 = 20   et  V0 = 60

{∀n∈N,  Un+1 = (2Un + Vn)/4    et  Vn+1 = (Un+2Vn)/4

1) montrer que les suites (Un+Vn) et (Vn -Un) sont géométrique

  (Un+1 + Vn+1)/(Un+Vn) = [(2Un + Vn)/4  + (Un + 2Vn)/4]/(Un+Vn)

                                       = (2Un + Vn + Un + 2Vn)/4(Un+Vn)

                                       = (3Un + 3Vn)/4(Un+Vn)

                                       = 3(Un+Vn)/4(Un+Vn)

                                       = 3/4

Donc la suite (Un+Vn) est géométrique de premier terme  U0+V0 = 80 et de raison  q = 3/4

(Vn+1 - Un+1)/(Vn - Un) = [(Un+2Vn)/4  -  (2Un + Vn)/4]/(Vn-Un)

                                     = (Un + 2Vn - 2Un - Vn)/4(Vn-Un)

                                     = (Vn-Un)/4(Vn-Un)

                                     = 1/4

la suite (Vn-Un) est géométrique de raison q = 1/4 et de premier terme

V0-U0 = 60- 20 = 40

2) exprimer Un+Vn et Vn-Un en fonction de n

         Un + Vn = (U0+V0) x qⁿ   donc  Un + Vn = 80 x (3/4)ⁿ

      et  Vn - Un = 40 x 1/4ⁿ

3) en déduire l'expression de Un et de Vn en fonction de n

             {Un + Vn = 80 x (3/4)ⁿ

             {-Un + Vn = 40 x 1/4ⁿ

          ...................................................

                     2 Vn = 80 x (3/4)ⁿ + 40 x 1/4ⁿ   ⇔ Vn = 40 x (3.4)ⁿ + 20 x 1/4ⁿ

Vn = 20/4ⁿ( 2 x 3ⁿ + 1)

Un = 80 x (3/4)ⁿ - 40 x (3.4)ⁿ - 20 x 1/4ⁿ  

     = 40 x (3/4)ⁿ - 20 x 1/4ⁿ

     = 20/4ⁿ x (2 x 3ⁿ - 1)

4) déterminer la limite de chacune des suites (Un) et (Vn)

m Un = lim 20/4ⁿ x (2 x 3ⁿ - 1) = lim 20 x (3/4)ⁿ(2 - 1/3ⁿ) = 0

n→+∞      n→ + ∞                           n →+∞

Les deux suites (Un) et (Vn) tendent vers 0 quand n tend vers + ∞

Explications étape par étape :