Bonsoir, petit procblème de maths Terminal qui me pose soucis, merci d'avance :) Soit t(n) la suite définie par t1 = 11 et pour tout entier naturel non nul n :

Réponse :

{t1 = 11

{∀n∈N* ; tn+1 = 4tn + 3

Montrer que, pour tout entier naturel non nul n,  tn = 3 x 4ⁿ - 1

Raisonnement par récurrence

1) initialisation : vérifions que pour n = 1 ; P(1) est vraie

               t1 = 3 x 4 - 1 = 11   donc  P(1) est vraie

2) hérédité :  supposons que pour tout entier naturel n > 0 ; P(n) est vraie c'est à dire  que  tn = 3 x 4ⁿ - 1  et montrons que P(n+1) est vraie

      tn+1 = 4 tn + 3  ⇔ tn+1 = 4*(3 x 4ⁿ - 1) + 3

                                            = 3 x 4 x 4ⁿ - 4 + 3

                                            = 3 x 4ⁿ⁺¹ - 1

donc  tn+1 = 3 x 4ⁿ⁺¹ - 1  ⇒ P(n+1) est vraie

3) conclusion : la propriété est vraie pour n = 1

et par hérédité et pour et pour tout entier naturel n non nul P(n) est vraie  

Explications étape par étape :