Bonsoir, quelqu'un peut m'aider s'il vous plaît je trouve des difficultés. je serais très reconnaissante. Merci en avance!​​

Réponse :

{U0 = 1                                            {V0 = 2

{∀n∈N, Un+1 = (3Un + 2Vn)/5        {∀n∈N , Vn+1 = (2Un + 3Vn)/5

1) calculer U1 ; U2 ; V1 et V2

U1 = (3U0 + 2V0)/5          V1 = (2U0 + 3V0)/5 = (2+6)/5 = 8/5

    = (3 + 4)/5

   U1 = 7/5

U2 = (3U1 + 2V1)/5 = (3(7/5)+2(8/5))/5 = 37/25

V2 = (2U1 + 3V2)/5 = (2(7/5) + 3(8/5))/5 = 38/5

2)  dn = Vn - Un   pour tout entier naturel n

a) montrer que la suite (dn) est une suite géométrique dont on donnera sa raison et son premier terme

   dn+1/dn = (Vn+1 - Un+1)/(Vn - Un)

                 = [((2Un + 3Vn)/5) - ((3Un + 2Vn)/5)]/(Vn -Un)

                 = (2Un + 3Vn - 3Un - 2Vn)/5(Vn - Un)

                 = (Vn - Un)/5(Vn - Un) = 1/5

donc (dn) est une suite géométrique de raison q = 1/5 et de premier terme d0 = V0 - U0 = 2 - 1 = 1

b) en déduire l'expression de dn en fonction de n

         dn = 1 x (1/5)ⁿ

3) Sn = Vn + Un,  pour tout entier naturel n

a) calculer S0 ; S1 et S2. Que peut-on conjecturer ?

S0 = V0 + U0 = 2+1 = 3

S1 = V1 + U1 = 8/5 + 7/5 = 15/5 = 3

S2 = V2 + U2 = 38/25 + 37/25 = 75/25 = 3

S0 = S1 = S2 = ....Sn = 3

pour tout entier naturel n ;  Sn = 3

b) montrer que; pour tout entier naturel n,  Sn+1 = Sn

      Sn+1 = Vn+1 + Un+1

               = (2Un + 3Vn)/5) + (3Un + 2Vn)/5

               = (2Un + 3Vn + 3Un + 2Vn)/5

               = (5Vn + 5Un)/5

                = 5(Vn + Un)/5

        Sn+1 = Vn + Un = Sn

4) en déduire une expression de Un et Vn en fonction de n

    Sn = Vn + Un = 3  ⇔ Vn = 3 - Un

     dn = Vn - Un = 1 x (1/5)ⁿ  d'où  Un = Vn - (1/5)ⁿ

donc  Un = 3 - Un - (1/5)ⁿ   ·⇔  2Un = 3 - (1/5)ⁿ ⇔ Un = 3/2 - 1/2)*(1/5)ⁿ

Vn = 3 - 3/2 + 1/2(1/5)ⁿ = 3/2 + 1/2(1/5)ⁿ

5) déterminer en fonction de n

  a) Tn = U0 + U1 + ..... + Un

           = 3/2 - 1/2(1/5)⁰ + 3/2 - 1/2(1/5)¹ + ....... + 3/2 - 1/2(1/5)ⁿ

           = 3/2(1 - 1/3(1/5)⁰ + 1 - 1/3(1/5)¹ + ....... + 1 - 1/3(1/5)ⁿ)

           = 3/2(1 + 1 + ...+ 1  - 1/3(1 + 1/5 + ......+ (1/5)ⁿ)

           = 3/2( n - 1/3(1 - (1/5)ⁿ⁺¹)/(1 - 1/5)

           = 3/2) n - 5/8(1 - (1/5)ⁿ)

b) Wn = V0 + V1 + .... + Vn

          = 3/2 + 1/2(1/5)⁰ + 3/2 + 1/2(1/5)¹ + .......+ 3/2 + 1/2(1/5)ⁿ

          = 3/2( 1 + 1/3(1/5)⁰ + 1 + 1/3(1/5)¹ + ...... + 1 + 1/3(1/5)ⁿ)

           = 3/2) n + 5/8(1 - (1/5)ⁿ)

Explications étape par étape :