Mathématiques

Question

Bonjour j’aurai besoin d’aide pour cet exercice de maths je suis en 1ère


A traiter sans utiliser le discriminant A
On donne maintenant l'expression de chacune des deux fonctions :
f(x) = x2 - x - 6 et g(x) = -2 – (x 2)2
1) Calculer l'image de 1 par la fonction f.
2) On veut résoudre dans R par le calcul l'équation f(x) = 0.
a. Montrer que, pour tout réel x, f(x) = (x - 2)° - 25
b. En déduire l'expression factorisée de f(x).
c. Résoudre par le calcul l'équation f(x) = 0.
3) Justifier que l'équation g(x) = 0 n'admet aucune solution réelle.
4) On veut maintenant résoudre dans R l'équation f(x) = g(x)
a. Montrer que, pour tout réel x, g(x) = -x2 + 4x – 6
b. Résoudre alors dans R l'équation f(x) = g(x).
Bonjour j’aurai besoin d’aide pour cet exercice de maths je suis en 1ère A traiter sans utiliser le discriminant A On donne maintenant l'expression de chacune d

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2 Réponse

  • bjr

    f(x) = x² - x - 6

    Q1

    donc f(1) = 1² - 1 - 6 = -6

    Q2

    a) il faut trouver la forme canonique de f

    f commence par x² - x qui est le début du développement de (x - 1/2)²

    mais comme (x - 1/2)² = x² - x + (1/2)² il faut retrancher (1/2)² qui est en trop et on aura

    f(x) = (x - 1/2)² - 1/4 - 6 = (x - 1/2)² - 25/4

    b) on remarque que 25/4 = (5/2)²

    donc on a f(x) = (x - 1/2)² - (5/2)² soit a² - b² à factoriser par (a+b) (a-b)

    vous savez

    c) résoudre f(x) = 0

    vous utilisez la factorisation- vous avez une équation produit à résoudre - vous savez aussi le faire - 2 solutions

    Q3

    g(x) = 0 ?

    on a g(x) = -2 - (x-2)²

    si g(x) = 0

    alors  -2 - (x-2)² = 0

    soit (x-2)² = -2 - ce qui est impossible puisq'un carré est tjrs positif

    donc pas de solution

    Q4

    f(x) = g(x)

    a) il faut développer le g(x) du début d'énoncé pour tomber sur

    -x² + 4x - 6 - vous utilisez (a-b)² = a² - 2ab +b² pour le faire

    b) on a donc à résoudre x² - x - 6 = -x² + 4x - 6

    soit 2x² - 5x = 0

    vous factorisez par x - et vous avez une équation produit à résoudre

  • Réponse :

    A traiter sans utiliser le discriminant

    f(x) = x² - x - 6   et  g(x) = - 2 - (x - 2)²

    1) f(1) = 1² - 1 - 6 = - 6

    2) a) Montrer que, pour tout réel x, f(x) = (x - 1/2)² - 25/4

      f(x) =  x² - x - 6 = 0  

            =  x² - x - 6 + 1/4 - 1/4

            = (x² - x + 1/4) - 6 - 1/4

            = (x - 1/2)² - 25/4

          b) en déduire l'expression factorisée de f(x)

             f(x) = (x - 1/2)² - 25/4

                   =  (x - 1/2)² - (5/2)²  identité remarquable a²-b²=(a+b)(a-b)

                   = (x - 1/2 + 5/2)(x - 1/2 - 5/2)

                   = (x + 4/2)(x - 6/2)

                f(x) = (x + 2)(x - 3)

    c) résoudre f(x) = 0  ⇔  (x + 2)(x - 3) = 0   produit de facteurs nul

    donc   x + 2 = 0 ⇔ x = - 2   ou  x - 3 = 0  ⇔ x = 3

    3) justifier que l'équation g(x) = 0 n'admet aucune solution réelle

    g(x) = 0 ⇔ - 2 - (x - 2)² = 0  ⇔ - (2 + (x - 2)² = 0   ⇔ 2 + (x - 2)² = 0

    ⇔ (x - 2)² = - 2   impossible  car un carré est toujours positif  ou nul

    donc  g(x) = 0 n'admet pas de solutions réelles

    4) a) montrer que, pour tout réel x , g(x) = - x² + 4 x - 6

          g(x) = - 2 - (x - 2)²

                 = - 2 - (x² - 4 x + 4)

                 = - 2 - x² + 4 x - 4

              g(x) = - x² + 4 x - 6    

       b) résoudre dans R    f(x) = g(x)

    f(x) = g(x)  ⇔  x² - x - 6  =  - x² + 4 x - 6   ⇔  2 x² - 5 x = 0

    ⇔ x(2 x - 5) = 0  ⇔ x = 0  ou 2 x - 5 = 0  ⇔ x = 5/2

    Explications étape par étape :

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