Bonjour pouvez vous m’aidez sur cette question s’il vous plaît :Existe t-il d'autre séries de 5 entiers naturels consécutifs tél que la somme des carrés les plu

Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour

soit x l'entier naturel

soit x + 1 l'entier qui le succède

soit x+ 2 le second entier naturel consécutif

soit x + 3 le troisième entier consécutif

soit x + 4 le quatrième entier consécutif

nous avons 5 entiers naturels x, x+ 1, x + 2, x +3, x + 4

la somme des carrés des plus grands est égales a la somme des carrés des plus petits

(x + 3)² + (x + 4)² = x² + (x + 1)² + (x + 2)²

x² + 6x + 9 + x² + 8x + 16 = x² + x² + 2 x + 1 + x² + 4x + 4

2x² + 14 x + 25 = 3x² + 6 x + 5

0 = 3x² + 6 x + 5 - 2 x² - 14x - 25

x² - 8 x - 20 = 0

calculons le discriminant Δ = b² - 4 ac avec a = 1 b = - 8 c = - 20

Δ = b² - 4 ac = (-8)² - 4 (1)(-20)

Δ = 64 + 80 = 144>0 donc √Δ = √144 = 12

donc l'équation x² - 8 x - 20 = 0 admet deux solutions

x₁ = ( - b + √Δ)/(2a) et x₂=  ( - b - √Δ)/(2a)

x₁ = ( - (- 8)  + 12)/(2(1)) et x₂=  ( - (- 8)  - 12)/(2(1))

x₁ = ( 8  + 12)/(2) et x₂=  ( 8  - 12)/(2)

x₁ = ( 20)/(2) et x₂=  ( - 4)/(2)

x₁ = 10 et x₂= -2

prenons 10, 11, 12 ,13,14

13² + 14² = 169 + 196 = 365

10² + 11² + 12²= 100 + 121 + 144 = 365

cela correspond

donc les entiers 10. 11 .12.13.14 conviennent

prenons -2,-1, 0,1, 2

1² + 2² = 1 + 4 = 5

0² + (-1)² + (-2)² = 1 + 4 = 5

cela correspond aussi

donc les entiers -2.-1, 0 , 1, 2 conviennent