Bonjour, je n'arrive à faire cet exercice :

Réponse :

Un = 5 - (n + 2)²    n ∈ N

a) exprimer Un+1 - Un en fonction de n

Un+1 = 5 - ((n+1) + 2)²

        = 5 - (n + 3)²

Un+1 - Un = 5 - (n + 3)² - (5 - (n + 2)²)

                = 5 - (n² + 6 n + 9) - (5 - (n² + 4 n + 4))

                = 5 - n² - 6 n - 9 - (5 - n² - 4 n - 4)

                =  5 - n² - 6 n - 9 - 5 + n² + 4 n + 4

                = - 2 n - 10

    Un+1 - Un = - 2 n - 10

b) en déduire le sens de variation de la suite (Un)

         Un+1 - Un = - 2 n - 10

                          = - (2 n + 10)   or    n ≥ 0  ⇔ 2 n ≥ 0  ⇔ 2 n + 10 ≥ 10  ⇔

2 n + 10 ≥ 0   donc - (2 n + 10) ≤ 0

donc  Un+1 - Un ≤ 0   ⇒ la suite (Un) est décroissante sur N      

Explications étape par étape :