lim sin x - tan x /x3

[tex]f(x)= \frac{sin(x)-tan(x)}{ x^{3} } [/tex]
[tex]f(x)= \frac{tan(x).(cos(x)-1)}{ x^{3} } [/tex]
[tex]-1 \leq cos(x) \leq 1[/tex]
[tex]-2sin(x) \leq sin(x).(cos(x)-1) \leq 0[/tex]
[tex]-1 \leq cos(x) \leq 1[/tex]
[tex]- x^{3} \leq x^{3} .cos(x) \leq x^{3} [/tex]
[tex] \frac{-1}{ x^{3} } \leq \frac{1}{ x^{3}.cos(x) } \leq \frac{1}{ x^{3} } [/tex]
[tex] \frac{-2sin(x)}{ x^{3} } \leq \frac{tan(x).(cos(x)-1)}{ x^{3} } \leq 0[/tex]
[tex]Or, \lim_{x \to \infty} ( \frac{-2sin(x)}{ x^{3} })=0 [/tex]
[tex]Et, \lim_{x \to \infty} (0)=0[/tex]
Donc d'après le théorème des gendarmes :
[tex] \lim_{x \to \infty} ( \frac{tan(x).(cos(x)-1)}{ x^{3} } ) =0[/tex]