Bonjour quelqu’un pourrait m’aider ? Voilà mon exercice Soit la suite Un définie pour tout entier naturel n par : U0=2 Un+1 = 1+(1/1+Un) Démontrer par récurrenc

Réponse :

{U0 = 2

{∀n∈N,  Un+1 = 1 + 1/(1+Un)

démontrer par récurrence que pour tout entier naturel;  1 ≤ Un ≤ 2

1) Initialisation : vérifions que pour n = 0   P(0) est vraie

              U0 = 2 ⇒   1 ≤ 2 ≤ 2    donc  1 ≤ U0 ≤ 2  ⇒ P(0) est vraie

2) hérédité : supposons que pour tout entier naturel n;  P(n) est vraie  

⇔ 1 ≤ Un ≤ 2   et montrons que P(n+1) est vraie

  Un+1 = 1 + 1/(1 + Un)

           = ((1 + Un) + 1)/(1+Un)

           = (2 + Un)/(1 + Un)

sachant que  1 ≤ Un ≤ 2  ⇔  2 ≤ 1 + Un ≤ 3   ⇔ 1/3 ≤ 1/(1+Un) ≤ 1/2

                      1 ≤ Un ≤ 2   ⇔ 3 ≤ 2 + Un ≤ 4

Donc par produit  3 x 1/3 ≤ (2+Un) x 1/(1 + Un) ≤ 4 x 1/2

on obtient donc   1 ≤ Un+1 ≤ 2   donc  P(n+1) est vraie

3) conclusion : la propriété est vraie pour n = 0  

                        et héréditaire à partir de ce rang;  donc elle est vraie pour tout entier naturel n      

Explications étape par étape :