Bonjour je n’arrive pas à faire l’exercice, est ce que quelqu’un pourrait m’aider EXERCICE 8 La suite (un) est la suite définie par: uo € ]0;1[ et Un+1 = un(2 -

Réponse :

U0 ∈ ]0 ; 1[  et  Un+1 = Un(2 - Un)

démontrer par récurrence que :  ∀n∈N,   0 < Un < 1

1) Initialisation :  vérifions que pour n = 0  P(0) est vraie

                            0 < U0 < 1   or  U0 ∈ ]0 ; 1[  donc  P(0) est vraie

2) Hérédité : supposons que ∀n∈N  P(n) est vraie  c'est à dire  0 < Un < 1

                      et montrons que P(n+1) est vraie

       Un+1 = Un(2 - Un) = 2Un - U²n

  sachant   0 < Un < 1   ⇔  0 < 2Un < 2

                   0 < Un < 1   ⇔  0 < U²n < 1

                                            ...............................

                                              0 < 2Un - U²n < 2 - 1 = 1

donc   0 < Un+1 < 1     donc  P(n+1) est vraie

3) Conclusion : pour n = 0  P(0) est vraie, et P(n) est héréditaire

donc on a pour tout entier naturel n   0 < Un < 1    

Explications étape par étape :