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Question

bonjour j’ai besoin d’aide pour l’exercice 13 que je ne comprends pas svp niveau spe maths terminale

Exercice 13: Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel n 21,
n(n+1)
Ek=1 k = 1 + 2+ ... +n= (somme d'une suite arithmétique de premier terme 1 et de
raison 1).
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bonjour j’ai besoin d’aide pour l’exercice 13 que je ne comprends pas svp niveau spe maths terminale Exercice 13: Démontrer par récurrence que, pour tout nombre

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1 Réponse

  • Réponse :

    Bonjour

    Soit P(n) la propriété : 1 + 2+ 3 + .... + n = n(n + 1)/2

    Initialisation

    Pour n = 1 la somme est égale à 1 , et 1(1 + 1)/2 = 2/2 = 1

    P(0) est donc vraie

    Hérédité

    Soit un entier k tel que 1 + 2 + 3 +.... + k = k(k + 1)/2 (hyp. de récurrence)

    ⇔ 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = k(k + 1)/2 + (k + 1)

                                                = k(k + 1)/2 + 2(k +1)/2

                                                = [k(k + 1) + 2(k + 1)]/2

                                                = [(k + 1)(k + 2)]/2

    P(k + 1) est donc vraie

    La propriété P(n) est héréditaire

    Conclusion

    La propriété P(n) est vraie au rang 1 , et elle est héréditaire.

    Donc pour tout n entier naturel, on a :

    1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2

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