bonjour, voici mon exercice : soit (Un) la suite définie par tout N E N par un = -2n +1 sur n + 3 1) étudier les variations de la suite (un) 2) montrer que (un)

Réponse :

82)  soit (Un) la suite définie pour tout n ∈ N par

          Un = (- 2 n + 1)/(n + 3)

1) étudier les variations de la suite (Un)

   Un+1 - Un = [(- 2(n+1) + 1)/((n+1) + 3)] - (- 2 n + 1)/(n + 3)

                    = (- 2 n - 1)/(n+4)) - (- 2 n + 1)/(n + 3)

                    = (- 2 n + 1)(n+3)/(n+4)(n+3)) - (- 2 n + 1)(n + 4)/(n+3)(n+4)

                    = (- 2 n² - 7 n - 3 + 2 n² + 7 n - 4)/(n+3)(n+4)

                    = - 7/(n+3)(n+4)       or  n ∈ N   donc  n ≥ 0  ⇒ n+3 ≥ 3  donc n+3 ≥ 0  et n+4 ≥ 0  Donc le produit  (n+3)(n+4) ≥ 0

et  - 7 < 0    ⇒ - 7/(n+3)(n+4) ≤ 0  ⇔ Un+1 - Un ≤ 0  donc la suite (Un) est décroissante sur N

2) montrer que (Un) est mi,orée par - 2

      on veut montrer que Un ≥ - 2

étudions le signe de  Un - (- 2)  ⇔ Un + 2

Un + 2 = (- 2 n + 1)/(n+3)  + 2

           = (- 2 n + 1)/(n + 3)) + 2(n+3)/(n+3)

           = (- 2 n + 1 + 2 n + 6)/(n+3)

           = 7/(n+3)     or  n ≥ 0  et  n+3 ≥ 3  donc n+3 ≥ 0

7 > 0   ⇒ 7/(n+3) ≥ 0  ⇔ Un  + 2  ≥ 0   ⇔ Un ≥ - 2  

3) en déduire que la suite (Un) est convergente

    (Un) est décroissante sur  et minorée  donc (Un) est convergente        

Explications étape par étape :