Bonjour besoin d aide svp On considère la suite (un) définie par uo = 1 et, pour tout entier naturel n, Un+1 = racine carré de un +1. Montrer par récurrence que

Réponse :

Bonjour

Montrons d'abord que les termes de (uₙ) sont strictement positifs.

Soit P(n) la propriété : uₙ > 0

Initialisation

u₀ = 1 donc u₀ > 0

P(0) est donc vraie

Hérédité

Soit un certain entier n tel que uₙ > 0

uₙ > 0 (hypothèse de récurrence)

⇔ uₙ + 1 > 1

⇔ √(uₙ + 1) > 1 ( car la fonction racine carrée est croissante sur [0 ;+∞[)

⇔ uₙ₊₁ > 1 > 0

⇔ uₙ₊₁ > 0

P(n) est donc héréditaire

Conclusion

P(n) est vraie au rang 0 , et elle est héréditaire, elle est donc vraie pour tout n entier.

Les termes de (uₙ) sont donc tous strictement positifs

Montrons maintenant que (uₙ) est croissante

Soit P(n) la propriété : uₙ₊₁ > uₙ

Initialisation

u₀ = 1 et u₁ = √(1 + 1) = √2

√2 > 1 donc u₁ > u₀

P(0) est donc vraie

Hérédité

Soit un certain n entier tel que uₙ₊₁ > uₙ

uₙ₊₁ > uₙ (hypothèse de récurrence

⇔ uₙ₊₁ + 1 > uₙ + 1

⇔ √(uₙ₊₁ + 1) > √(uₙ + 1) (car la fonction racine carrée est croissante)

⇔ uₙ₊₂ > uₙ₊₁

P(n+1) est donc vraie. P(n) est héréditaire

Conclusion

P(n) est vraie au rang 0, et elle est héréditaire. Pour tout n entier, on a donc

uₙ₊₁ > uₙ

La suite (uₙ) est donc strictement croissante.