Bonjour, pouvez vous m'aider svp ? Démontrer que pour tout entier naturel non nul p, on a l'égalité : 1 / 1 p - 1 / p +1 = 1 / p (p+1) En déduire la valeur d

Réponse :

1) démontrer que pour tout entier naturel non nul p, on a

l'égalité  1/p) - 1/(p+1) = 1/p(p+1)

1/p) - 1/(p+ 1) = (p+1)/p(p+1) - p/p(p+1) = (p + 1 - p)/p(p+1) = 1/p(p+1)

2) en déduire la valeur de la somme  S suivante :

S = 1/1x2) + 1/2x3) + 1/3x4) + .......+ 1/5003x5004) + 1/5004x5005

1/1x2 = 1/1 - 1/(1+1) = 1/1 - 1/2

1/2x3 = 1/2 - 1/(2+1) = 1/2 - 1/3

1/3x4 = 1/3 - 1/(3+1) = 1/3 - 1/4

..........

1/5003x5004 = 1/5003 - 1/(5003 + 1) = 1/5003 - 1/5004

1/5004 x 5005 = 1/5004 - 1/(5004+1) = 1/5004 - 1/5005

S = 1/1x2) + 1/2x3) + 1/3x4) + .......+ 1/5003x5004) + 1/5004x5005

    = (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ........ + (1/5003  - 1/5004) + (1/5004 - 1/5005)

donc   S = 1 - 1/5005 = 5004/5005  ≈ 0.9998

Explications étape par étape :