La suite (un) est définie par uo = 0 et, pour tout entier naturel n, Un+1 = 1/2-Un Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Un = n/n+1

Réponse :

Bonsoir

Soit P(n) la propriété : uₙ = n/(n + 1)

Initialisation

u₀ = 0 et 0/(0 + 1) = 0

P(0) est donc vraie

Hérédité

Soit un certain n entier tel que uₙ = n/(n + 1)

On a par définition de (uₙ) : uₙ₊₁ = 1/(2 - uₙ)

⇔ uₙ₊₁ = 1/(2 - n/(n + 1))     (hypothèse de récurrence)

⇔ uₙ₊₁ = 1/((2n + 2 - n)/(n + 1))

⇔ uₙ₊₁ = 1/((n + 2)/(n + 1))

⇔ uₙ₊₁ = (n + 1)/(n + 2)

P(n + 1) est donc vraie.a propriété est héréditaire

Conclusion

La propriété P(n) est vraie au rang 0, et elle est héréditaire.Elle est donc vraie pour tout n entier

Donc quelque soit n entier naturel, on a uₙ = n/(n + 1)