bonsoir, quelqu'un pourrait-il m'aider sur cette question : Montrer que 9/7 est décimal par l'absurde ? merci bonne soirée :)

bjr

  Enoncé : montrer que 9/7 n'est pas un décimal

rappel :

1,23 = (1,23 x 100)/100 = 123/10²

4,567 = (4,567 x 1000)/1000 = 4567/1000 = 4567/10³

un nombre décimal peut s'écrire sous la forme d'un entier

suivit d'une virgule puis d'un nombre fini de chiffres décimaux

Si un nombre décimal  comporte n chiffres décimaux en le multipliant puis

en le divisant par 10ⁿ on obtient un entier divisé par une puissance de 10.

soit  a/ 10ⁿ  

                                  - - - - - - - - - - - - - -

     un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire

     sous la forme

                                    a/10ⁿ              (a entier relatif  et n naturel)

                                        - - - - - - - - - -

                        raisonnement par l'absurde

        1) hypothèse

on suppose que 9/7 est un décimal

      2) raisonnement

alors 9/7 peut s'écrire sous la forme a /10ⁿ

                9/7 = a/10ⁿ

               9 x 10ⁿ = 7a   (produits en croix)

               3² x (2 x 5)ⁿ = 7 x a

               3² x 2ⁿ x 5ⁿ = 7 x a    (1)

          les facteurs premiers du 1er membre sont  2 ; 3 et 5

         Dans le second membre on a le facteur premier 7.

         La décomposition en produit de facteurs premiers de 7 x a

          ne peut être égale à celle du 1er membre puisque le facteur 7

         n'est pas dans 3² x 2ⁿ x 5ⁿ

          l'égalité (1) ne peut exister.

cela signifie que l'hypothèse faite au départ (9/7 est un décimal)

est fausse

    3) conclusion

9/7 n'est pas un décimal