Bonjour je suis en maths spécialité en terminale. Et je n’arrive pas à faire un exercice sur les suites pouvez vous m’aider s’il vous plaît ?

Réponse :

Bonjour

1) Soit P(n) la propriété : uₙ ≥ √n

Initialisation

u₀ = 0 et √0 = 0 donc u₀ ≥ √0

P(0) est donc vraie

Hérédité

Soit un certain n entier tel que uₙ ≥ √n

⇔ u²ₙ ≥ n

⇔ u²ₙ + 1 ≥ n + 1

⇔ √(u²ₙ + 1) ≥ √(n + 1) (car la fonction racine carrée est croissante)

⇔ uₙ₊₁ ≥ √(n + 1)

P(n+1) est donc vraie

Conclusion

P(n) est vraie au rang 0 , et elle est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout n.

Quelque soit n entier, uₙ ≥ √n

2) lim (√n) = +∞

comme uₙ ≥ √n , lim (uₙ) = +∞ (théorème de comparaison)

3) u₀ = 0

u₁ = 1

u₂ = √2

u₃ = √3

u₄ = √4 = 2

u₅ = √5

On peut donc conjecturer que uₙ = √n

4) Soit P(n) la propriété : uₙ = √n

Initialisation

u₀ = 0 et √0 = 0 donc u₀ = √0

P(0) est vraie

Hérédité

Soit un certain n entier tel que uₙ = √n

uₙ₊₁ = √(u²ₙ + 1) (par définition de la suite)

⇔ uₙ₊₁ = √((√n)² + 1) (hypothèse de récurrence)

⇔ uₙ₊₁ = √(n + 1)

P(n + 1) est donc vraie

Conclusion

La propriété P(n) est vraie au rang 0 , et elle est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout n entier

donc quelque soit n entier naturel , uₙ = √n