bonjour, j'ai du mal avec cet exercice, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?​

Réponse :

Bonsoir

a) Soit P(n) la propriété : 0 ≤ wₙ ≤ wₙ₊₁ ≤ 7

Initialisation :

w₀ = 2 et w₁ = √14

donc 0 ≤ w₀ ≤ w₁ ≤ 7

P(0) est vraie

Hérédité

Soit un certain n ∈ N tel que : 0 ≤ wₙ ≤ wₙ₊₁ ≤ 7

⇔ 0 ≤ 7wₙ ≤ 7wₙ₊₁ ≤ 49

⇔ 0 ≤ √(7wₙ) ≤ 7(wₙ₊₁) ≤ √49

⇔ 0 ≤ wₙ₊₁ ≤ wₙ₊₂ ≤ 7

P(n) est donc héréditaire

Conclusion

La propriété P(n) est vraie au rang 0 , et elle est héréditaire. Donc pour tout entier naturel n , 0 ≤ wₙ ≤ wₙ₊₁ ≤ 7

b) On a démontré que pour tout n entier naturel , wₙ ≤ wₙ₊₁ . La suite (wₙ) est donc croissante.